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IMU 综述

什么是 IMU

IMU（Inertial Measurement Unit，惯性测量单元）是一种测量物体加速度和角速度的传感器模块。它是机器人导航、姿态估计和运动控制的核心传感器之一，几乎存在于所有移动机器人平台中。

传感器组成

加速度计（Accelerometer）

原理：基于 MEMS 弹簧-质量块系统。当传感器加速时，质量块由于惯性产生相对位移，通过电容变化检测位移量。

\[ F = ma \quad \Rightarrow \quad a = \frac{F}{m} = \frac{k \cdot \Delta x}{m} \]

其中：

  • \(k\) 为弹簧刚度
  • \(\Delta x\) 为质量块位移
  • \(m\) 为质量块质量

测量内容：比力（Specific Force），即重力 + 运动加速度：

\[ \mathbf{f} = \mathbf{a} - \mathbf{g} \]

重力的影响

加速度计在静止时测量到的是重力加速度 \(g \approx 9.81 \, \text{m/s}^2\)。在使用加速度计进行导航时，必须从测量值中减去重力分量，这需要精确知道传感器的姿态。

陀螺仪（Gyroscope）

原理：基于科里奥利效应（Coriolis Effect）。一个振动的质量块在旋转参考系中会受到科里奥利力：

\[ \mathbf{F}_c = -2m(\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{v}) \]

其中：

  • \(m\) 为振动质量
  • \(\boldsymbol{\omega}\) 为角速度
  • \(\mathbf{v}\) 为振动速度

MEMS 陀螺仪让质量块在一个方向上持续振动，当存在旋转时，科里奥利力会在垂直方向产生位移，通过电容检测得到角速度。

测量内容：三轴角速度 \((\omega_x, \omega_y, \omega_z)\)，单位 °/s 或 rad/s。

磁力计（Magnetometer）

原理：利用霍尔效应或磁阻效应测量地球磁场方向。

测量内容：三轴磁场强度，可用于计算航向角（Yaw）。

局限性：

  • 受铁磁材料干扰（硬铁/软铁误差）
  • 室内环境磁场不均匀
  • 需要校准（椭球拟合）

IMU 配置分类

类型 传感器组合 可测量 代表产品
6 轴 加速度计 + 陀螺仪 加速度、角速度 MPU6050、BMI088
9 轴 加速度计 + 陀螺仪 + 磁力计 加速度、角速度、航向 BNO055、MPU9250
10 轴 9 轴 + 气压计 以上 + 高度估计 BMP388 组合

IMU 噪声模型

IMU 的精度受多种噪声源影响，理解噪声模型对于传感器融合至关重要。

主要噪声类型

graph TD
    A[IMU 噪声源] --> B[确定性误差]
    A --> C[随机误差]

    B --> B1[偏置 Bias<br/>常量偏移]
    B --> B2[标度因子误差<br/>Scale Factor]
    B --> B3[轴间耦合<br/>Cross-axis]

    C --> C1[角度随机游走 ARW<br/>白噪声]
    C --> C2[偏置不稳定性<br/>Bias Instability]
    C --> C3[速率随机游走 RRW<br/>低频漂移]

陀螺仪噪声模型

连续时间模型：

\[ \tilde{\omega}(t) = \omega(t) + b_g(t) + n_g(t) \]

其中：

  • \(\tilde{\omega}(t)\) 为测量值
  • \(\omega(t)\) 为真实角速度
  • \(b_g(t)\) 为随时间缓慢漂移的偏置
  • \(n_g(t)\) 为高斯白噪声，\(n_g \sim \mathcal{N}(0, \sigma_g^2)\)

偏置建模为随机游走：

\[ \dot{b}_g(t) = n_{bg}(t), \quad n_{bg} \sim \mathcal{N}(0, \sigma_{bg}^2) \]

加速度计噪声模型

\[ \tilde{a}(t) = a(t) + b_a(t) + n_a(t) \]

结构类似陀螺仪，但加速度积分两次得到位置，误差累积更快：

\[ \delta p(t) \propto \frac{1}{2} b_a \cdot t^2 + \frac{1}{6} \sigma_a \cdot t^{5/2} \]

惯性导航的漂移问题

纯惯性导航（仅用 IMU）的位置误差随时间平方增长。消费级 MEMS IMU 在几秒内就会产生米级漂移，因此必须与其他传感器（GPS、LiDAR、视觉）融合使用。

关键噪声参数

参数 符号 单位（陀螺） 单位（加速度计） 含义
角度/速度随机游走 ARW / VRW °/√h m/s/√h 白噪声强度
偏置不稳定性 BI °/h μg 偏置的最小可检测变化
偏置重复性 Turn-on bias °/h mg 每次上电的偏置变化
标度因子误差 SF error ppm ppm 测量值的比例误差

Allan 方差分析

Allan 方差是表征 IMU 噪声特性的标准方法，通过对不同平均时间 \(\tau\) 计算方差来识别各噪声分量。

\[ \sigma^2(\tau) = \frac{1}{2(N-1)} \sum_{k=1}^{N-1} \left( \bar{y}_{k+1} - \bar{y}_k \right)^2 \]

其中 \(\bar{y}_k\) 为第 \(k\) 个长度为 \(\tau\) 的区间的平均值。

Allan 方差曲线解读

在 \(\log \sigma\) vs \(\log \tau\) 图上，不同噪声类型对应不同斜率：

噪声类型 斜率 特征
量化噪声 -1 短 \(\tau\) 时出现
角度随机游走（ARW） -1/2 白噪声，在 \(\tau = 1s\) 读数
偏置不稳定性（BI） 0 曲线最低点
速率随机游走（RRW） +1/2 长 \(\tau\) 时出现
速率斜坡 +1 温度漂移等确定性趋势 
import numpy as np
import allantools

# 从 IMU 静态数据计算 Allan 方差
# data: 陀螺仪某轴的静态采样数据
# rate: 采样率 (Hz)
(taus, adevs, errors, ns) = allantools.oadev(
    data, rate=rate, data_type="freq"
)

# ARW: tau=1 时的 Allan deviation
# BI: Allan deviation 最小值

传感器融合流水线

graph LR
    A[加速度计] --> D[姿态估计]
    B[陀螺仪] --> D
    C[磁力计] --> D

    D --> E[互补滤波器<br/>或 EKF]

    E --> F[Roll, Pitch, Yaw]
    F --> G[与外部传感器融合]

    G --> G1[GPS → 位置]
    G --> G2[LiDAR → SLAM]
    G --> G3[相机 → VIO]
    G --> G4[轮式里程计 → 速度]

姿态表示

表示方法 参数数 优点 缺点
欧拉角 3 直观 万向锁（Gimbal Lock）
旋转矩阵 9 无奇异性 参数冗余
四元数 4 无奇异性、计算高效 不够直观
旋转向量/轴角 3 最小参数化 0° 附近奇异

四元数更新：

\[ \mathbf{q}_{k+1} = \mathbf{q}_k \otimes \begin{bmatrix} 1 \\ \frac{1}{2}\boldsymbol{\omega} \Delta t \end{bmatrix} \]

IMU 等级分类

等级 陀螺偏置稳定性 代表产品 应用场景 价格
消费级 >10 °/h MPU6050, BMI160 手机、遥控器 $1–5
工业级 1–10 °/h BMI088, ADIS16465 无人机、机器人 $10–100
战术级 0.1–1 °/h HG1120, STIM300 导弹、高精度导航 $1K–10K
导航级 <0.01 °/h HG9900 惯性导航系统 $50K+
战略级 <0.001 °/h 环形激光陀螺 潜艇、洲际导弹 $100K+

参考资料

  • 《Quaternion kinematics for the error-state Kalman filter》 - Joan Sola
  • 《Strapdown Inertial Navigation Technology》 - Titterton & Weston
  • Bosch BMI088/BNO055 数据手册
  • InvenSense MPU6050 数据手册
  • Allan Variance 分析教程：IEEE Std 952-1997

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