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VaR 与 Expected Shortfall

风险价值 (Value at Risk)

VaR (Value at Risk) 是最广泛使用的市场风险度量工具。在置信水平 \(\alpha\)（通常取 95% 或 99%）下，VaR 定义为：

\[\text{VaR}_\alpha = -\inf\{x : \mathbb{P}(L \leq x) > 1-\alpha\} = -F_L^{-1}(1-\alpha)\]

直观含义：在未来持有期内，损失超过 \(\text{VaR}_\alpha\) 的概率不超过 \(1-\alpha\)。

解读

若 1 天 99% VaR = 100 万元，则在正常市场条件下，日损失超过 100 万元的概率不超过 1%。注意 VaR 并不告诉我们超过阈值后的损失有多大。

三种 VaR 计算方法

1. 历史模拟法 (Historical Simulation)

直接使用过去 \(N\) 天的历史收益率，取第 \((1-\alpha) \times N\) 个最差收益率作为 VaR。

\[\text{VaR}_\alpha^{\text{HS}} = -R_{((1-\alpha)N)}\]

其中 \(R_{(k)}\) 表示收益率的第 \(k\) 个顺序统计量。

优点：不需假设分布，自动包含肥尾和非线性特征 缺点：依赖样本窗口选择，对极端事件重复率敏感

2. 参数法 (Parametric / Variance-Covariance)

假设收益率 \(R \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)\)，则：

\[\boxed{\text{VaR}_\alpha = -(\mu + z_{1-\alpha}\,\sigma)}\]

其中 \(z_{1-\alpha}\) 为标准正态分位数（99% VaR 时 \(z_{0.01} = -2.326\)）。

对于投资组合 \(w\)：

\[\text{VaR}_\alpha^{\text{portfolio}} = -\left(w^T\mu + z_{1-\alpha}\sqrt{w^T\Sigma w}\right)\]

正态假设的局限

金融收益率通常呈现肥尾 (Fat Tails) 和偏斜 (Skewness)。正态假设下的 VaR 系统性低估尾部风险。改进方法包括使用 \(t\) 分布、Cornish-Fisher 展开或极值理论 (EVT)。

Cornish-Fisher 修正：

\[z_{\text{CF}} = z + \frac{(z^2-1)}{6}S + \frac{(z^3-3z)}{24}(K-3) - \frac{(2z^3-5z)}{36}S^2\]

其中 \(S\) 为偏度，\(K\) 为峰度。

3. 蒙特卡洛 VaR (Monte Carlo VaR)

  1. 建立资产价格的随机模型（GBM、Heston 等）
  2. 模拟大量价格路径
  3. 计算每条路径下的组合损益
  4. 取损益分布的相应分位数
\[\text{VaR}_\alpha^{\text{MC}} = -\text{Quantile}_{1-\alpha}\!\left(\{L_1, L_2, \ldots, L_N\}\right)\]

优点：可处理非线性头寸（期权组合）、任意分布、路径依赖工具 缺点：计算成本高，存在模型风险 (Model Risk)

Expected Shortfall (条件 VaR)

Expected Shortfall (ES)，也称 CVaR (Conditional VaR) 或 TVaR (Tail VaR)，衡量损失超过 VaR 后的条件期望损失：

\[\boxed{\text{ES}_\alpha = -\mathbb{E}[R \mid R \leq -\text{VaR}_\alpha] = \frac{1}{1-\alpha}\int_0^{1-\alpha}\text{VaR}_u\,du}\]

在正态分布下，ES 有解析表达式：

\[\text{ES}_\alpha = -\mu + \sigma\frac{\phi(z_{1-\alpha})}{1-\alpha}\]

其中 \(\phi(\cdot)\) 为标准正态密度函数。

ES vs. VaR 的数值对比（正态分布）

置信水平 VaR (倍标准差) ES (倍标准差)
95% 1.645\(\sigma\) 2.063\(\sigma\)
99% 2.326\(\sigma\) 2.665\(\sigma\)
99.5% 2.576\(\sigma\) 2.892\(\sigma\)

ES 的优势与一致性风险度量 (Coherent Risk Measures)

Artzner et al. (1999) 提出一致性风险度量应满足四条公理：

  1. 平移不变性 (Translation Invariance)：\(\rho(X + c) = \rho(X) - c\)
  2. 正齐次性 (Positive Homogeneity)：\(\rho(\lambda X) = \lambda\rho(X)\)，\(\lambda > 0\)
  3. 单调性 (Monotonicity)：若 \(X \leq Y\) a.s.，则 \(\rho(X) \geq \rho(Y)\)
  4. 次可加性 (Subadditivity)：\(\rho(X+Y) \leq \rho(X) + \rho(Y)\)

VaR 不满足次可加性

VaR 违反次可加性——即分散投资可能增加 VaR。这在数学上不合理，也可能误导风险管理决策。相比之下，ES 满足所有四条公理，是一致性风险度量。

Basel III 已将监管资本计算从 VaR 转向 ES（使用 97.5% 置信水平的 ES 替代 99% VaR），正是基于这一理论优势。

回测检验 (Backtesting)

VaR 回测

统计检验 VaR 模型准确性的标准方法：

Kupiec 检验 (Proportion of Failures)：检验实际突破次数 \(x\) 是否符合预期。在 \(N\) 天中：

\[\text{LR}_{\text{POF}} = -2\ln\frac{(1-p)^{N-x}p^x}{(1-\hat{p})^{N-x}\hat{p}^x} \sim \chi^2(1)\]

其中 \(p = 1-\alpha\) 为期望突破概率，\(\hat{p} = x/N\) 为实际突破比例。

Christoffersen 检验：同时检验突破率和突破的独立性（VaR 突破不应连续出现）。

监管要求

Basel 框架使用交通灯系统评估内部模型：250 天窗口内，99% VaR 的突破次数 0-4 次为绿区（合格），5-9 次为黄区（需增加乘数因子），10 次以上为红区（模型不合格）。