信用风险模型

信用风险概述 (Credit Risk)

信用风险 (Credit Risk) 是指交易对手无法履行合同义务（违约）而导致损失的风险。信用风险建模的核心目标是估计违约概率 (PD, Probability of Default)、违约损失率 (LGD, Loss Given Default) 和违约暴露 (EAD, Exposure at Default)。

期望损失 (Expected Loss)：

\[\text{EL} = \text{PD} \times \text{LGD} \times \text{EAD}\]

信用风险模型主要分为两大类：结构模型 (Structural Models) 和简约模型 (Reduced-form Models)。

Merton 结构模型

基本框架

Merton (1974) 将公司股权视为其资产上的看涨期权 (Call Option)。假设公司资产价值 \(V_t\) 服从几何布朗运动：

\[dV_t = \mu V_t\,dt + \sigma_V V_t\,dW_t\]

公司在到期日 \(T\) 有面值为 \(D\) 的零息债务。违约发生在 \(V_T < D\) 时。

股权价值等价于执行价为 \(D\) 的欧式看涨期权：

\[E = V_0 \mathcal{N}(d_1) - De^{-rT}\mathcal{N}(d_2)\]

其中：

\[d_1 = \frac{\ln(V_0/D) + (r + \sigma_V^2/2)T}{\sigma_V\sqrt{T}}, \quad d_2 = d_1 - \sigma_V\sqrt{T}\]

违约概率

在风险中性测度下：

\[\text{PD}^{\mathbb{Q}} = \mathcal{N}(-d_2) = \mathcal{N}\!\left(-\frac{\ln(V_0/D) + (r - \sigma_V^2/2)T}{\sigma_V\sqrt{T}}\right)\]

在真实测度下（替换 \(r\) 为 \(\mu\)）：

\[\text{PD}^{\mathbb{P}} = \mathcal{N}(-d_2^{\mathbb{P}}) = \mathcal{N}\!\left(-\frac{\ln(V_0/D) + (\mu - \sigma_V^2/2)T}{\sigma_V\sqrt{T}}\right)\]

违约距离 (Distance to Default)

KMV 模型（Moody's）将 \(d_2^{\mathbb{P}}\) 称为违约距离 (DD)：

\[\text{DD} = \frac{\ln(V_0/D) + (\mu - \sigma_V^2/2)T}{\sigma_V\sqrt{T}}\]

DD 越大，违约概率越低。KMV 使用历史违约数据库将 DD 映射为预期违约频率 (EDF, Expected Default Frequency)，而非直接使用正态分布的理论值。

参数估计

公司资产价值 \(V_0\) 和波动率 \(\sigma_V\) 不可直接观测。利用两个方程联立求解：

股权定价方程：\(E = V_0\mathcal{N}(d_1) - De^{-rT}\mathcal{N}(d_2)\)
波动率关系（由伊藤引理）：\(\sigma_E E = \mathcal{N}(d_1)\sigma_V V_0\)

Merton 模型的局限

仅在到期日判断违约，无法处理中途违约
假设资产波动率恒定
对短期违约概率的估计通常过低
资本结构简化为单一零息债券

简约模型 (Reduced-form Models)

简约模型不建模资产价值，而是直接对违约时间 \(\tau\) 建模。违约由一个泊松过程 (Poisson Process) 驱动，违约强度 (Hazard Rate / Default Intensity) 为 \(\lambda(t)\)。

违约概率

生存概率 (Survival Probability)：

\[\mathbb{P}(\tau > t) = \exp\left(-\int_0^t \lambda(s)\,ds\right)\]

当 \(\lambda\) 为常数时，违约时间服从指数分布：

\[\mathbb{P}(\tau > t) = e^{-\lambda t}, \quad \text{PD}(0,t) = 1 - e^{-\lambda t}\]

风险债券定价

含违约风险的零息债券价格：

\[\bar{B}(0,T) = e^{-rT}\mathbb{E}^{\mathbb{Q}}\left[\mathbf{1}_{\{\tau > T\}} + \delta \cdot \mathbf{1}_{\{\tau \leq T\}}\right]\]

其中 \(\delta\) 为回收率 (Recovery Rate)。简化后：

\[\bar{B}(0,T) \approx e^{-(r+\lambda(1-\delta))T}\]

信用利差 (Credit Spread) 近似为：

\[s \approx \lambda(1-\delta)\]

信用利差分解

观测到的信用利差中，实际违约损失仅解释了约 30%-50%，其余部分来源于流动性溢价 (Liquidity Premium)、风险溢价 (Risk Premium) 和税收差异——这被称为"信用利差之谜" (Credit Spread Puzzle)。

CDS 定价 (Credit Default Swap)

CDS 是最重要的信用衍生品。保护买方 (Protection Buyer) 定期支付CDS 价差 \(s\)，换取违约时的损失补偿。

定价原理：保费腿 (Premium Leg) 现值 = 保护腿 (Protection Leg) 现值。

保费腿（简化为连续支付）：

\[\text{PV}_{\text{premium}} = s \int_0^T e^{-rt}\mathbb{P}(\tau > t)\,dt\]

保护腿：

\[\text{PV}_{\text{protection}} = (1-\delta)\int_0^T e^{-rt}\lambda(t)\mathbb{P}(\tau > t)\,dt\]

令两者相等，解出公允 CDS 价差：

\[\boxed{s = (1-\delta) \cdot \frac{\int_0^T e^{-rt}\lambda(t)\mathbb{P}(\tau > t)\,dt}{\int_0^T e^{-rt}\mathbb{P}(\tau > t)\,dt}}\]

当 \(\lambda\) 为常数时，\(s = \lambda(1-\delta)\)。

信用组合模型 (Credit Portfolio Models)

违约相关性

信用组合的关键挑战是建模违约相关性 (Default Correlation)。常用方法：

高斯 Copula 模型 (Li, 2000)：假设公司 \(i\) 的潜变量：

\[X_i = \sqrt{\rho}\,Z + \sqrt{1-\rho}\,\varepsilon_i\]

其中 \(Z \sim \mathcal{N}(0,1)\) 为系统因子，\(\varepsilon_i \sim \mathcal{N}(0,1)\) 为个体因子，\(\rho\) 为资产相关系数。公司 \(i\) 在 \(X_i < \mathcal{N}^{-1}(\text{PD}_i)\) 时违约。

高斯 Copula 的教训

高斯 Copula 模型因在 CDO 定价中的广泛应用和 2008 年金融危机中的失败而臭名昭著。其主要缺陷是尾部相关性 (Tail Dependence) 不足——在极端情形下低估了违约的联动程度。改进方向包括 \(t\)-Copula、动态相关模型和多因子模型。