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时间序列分析

平稳性 (Stationarity)

时间序列分析的首要问题是判断序列是否平稳 (Stationary)。严格平稳要求联合分布不随时间平移而改变；实际中常用弱平稳 (Weak Stationarity)：

  1. 均值恒定：\(\mathbb{E}[X_t] = \mu\)，对所有 \(t\)
  2. 方差有限：\(\text{Var}(X_t) = \sigma^2 < \infty\)
  3. 自协方差仅依赖时滞：\(\text{Cov}(X_t, X_{t+h}) = \gamma(h)\)

单位根问题 (Unit Root)

金融价格序列通常是非平稳的（含单位根），但收益率序列通常是平稳的。实践中使用 ADF 检验 (Augmented Dickey-Fuller Test) 或 PP 检验 (Phillips-Perron Test) 来判断是否存在单位根。

自相关函数 (Autocorrelation Function)

自相关函数 (ACF) 衡量序列与其滞后值之间的线性相关性：

\[\rho(h) = \frac{\gamma(h)}{\gamma(0)} = \frac{\text{Cov}(X_t, X_{t+h})}{\text{Var}(X_t)}\]

偏自相关函数 (PACF) 则在控制中间滞后项后衡量直接相关性。ACF 和 PACF 的衰减模式用于识别模型阶数：

模型 ACF PACF
AR(\(p\)) 拖尾衰减 \(p\) 阶后截尾
MA(\(q\)) \(q\) 阶后截尾 拖尾衰减
ARMA(\(p,q\)) 拖尾衰减 拖尾衰减

ARIMA 模型

AR 模型 (Autoregressive)

\(p\) 阶自回归模型：

\[X_t = c + \phi_1 X_{t-1} + \phi_2 X_{t-2} + \cdots + \phi_p X_{t-p} + \varepsilon_t\]

用滞后算子 (Lag Operator) \(L\) 表示：\(\Phi(L)X_t = c + \varepsilon_t\)，其中 \(\Phi(L) = 1 - \phi_1 L - \cdots - \phi_p L^p\)。平稳条件要求 \(\Phi(z) = 0\) 的根全部在单位圆外。

MA 模型 (Moving Average)

\(q\) 阶移动平均模型：

\[X_t = \mu + \varepsilon_t + \theta_1\varepsilon_{t-1} + \cdots + \theta_q\varepsilon_{t-q}\]

ARIMA 模型 (AutoRegressive Integrated Moving Average)

对非平稳序列进行 \(d\) 次差分后建立 ARMA 模型，记为 ARIMA(\(p, d, q\))：

\[\Phi(L)(1-L)^d X_t = c + \Theta(L)\varepsilon_t\]

Box-Jenkins 方法

模型构建遵循三步流程：识别 (Identification) — 通过 ACF/PACF 和差分确定阶数；估计 (Estimation) — 最大似然法或最小二乘法估计参数；诊断 (Diagnostic) — 检验残差是否为白噪声 (Ljung-Box 检验)。

GARCH 波动率建模

金融收益率序列虽然均值上近似白噪声，但其条件方差具有时变性和聚集性 (Volatility Clustering)。

ARCH 模型

Engle (1982) 提出的 ARCH(\(q\)) 模型：

\[\varepsilon_t = \sigma_t z_t, \quad z_t \sim \mathcal{N}(0,1)\]
\[\sigma_t^2 = \omega + \alpha_1\varepsilon_{t-1}^2 + \cdots + \alpha_q\varepsilon_{t-q}^2\]

GARCH 模型

Bollerslev (1986) 将其推广为 GARCH(\(p, q\))：

\[\boxed{\sigma_t^2 = \omega + \sum_{i=1}^{q}\alpha_i\varepsilon_{t-i}^2 + \sum_{j=1}^{p}\beta_j\sigma_{t-j}^2}\]

其中 \(\omega > 0\)，\(\alpha_i \geq 0\)，\(\beta_j \geq 0\)。平稳条件要求 \(\sum \alpha_i + \sum \beta_j < 1\)。

无条件方差（长期波动率）为：

\[\bar{\sigma}^2 = \frac{\omega}{1 - \sum\alpha_i - \sum\beta_j}\]

GARCH(1,1) 应用

实践中最常用 GARCH(1,1)：\(\sigma_t^2 = \omega + \alpha\varepsilon_{t-1}^2 + \beta\sigma_{t-1}^2\)。典型参数估计：\(\alpha \approx 0.05\text{-}0.10\)，\(\beta \approx 0.85\text{-}0.95\)，持续性 \(\alpha + \beta\) 接近 1，反映波动率的高度持续性。

模型扩展

  • EGARCH：引入对数形式，捕捉杠杆效应 (Leverage Effect)，即下跌对波动率的影响大于上涨
  • GJR-GARCH：通过指示函数 \(I(\varepsilon_{t-1} < 0)\) 区分正负冲击
  • IGARCH：\(\alpha + \beta = 1\)，条件方差具有单位根，适合长记忆过程

在量化金融中的应用

  1. 收益预测：ARIMA 对短期收益率预测能力有限，但在利率和宏观变量预测中有价值
  2. 波动率预测：GARCH 族模型广泛用于期权定价、VaR 计算和风险预算
  3. 协整检验 (Cointegration)：非平稳序列的线性组合可能平稳，这是配对交易 (Pairs Trading) 的理论基础
  4. 信号生成：时间序列残差的偏离可作为均值回归策略的交易信号