概率论与随机过程

概率空间 (Probability Space)

量化金融的数学基础建立在概率空间 \((\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})\) 之上，其中：

\(\Omega\)：样本空间 (Sample Space)，所有可能结果的集合
\(\mathcal{F}\)：\(\sigma\)-代数 (Sigma-algebra)，事件的集合，满足封闭性
\(\mathbb{P}\)：概率测度 (Probability Measure)，将事件映射到 \([0,1]\)

在金融中，我们还引入滤流 (Filtration) \(\{\mathcal{F}_t\}_{t \geq 0}\)，表示随时间递增的信息集合。这一概念对于刻画市场信息的逐步揭示至关重要。

条件期望 (Conditional Expectation)

给定信息集 \(\mathcal{F}_t\)，随机变量 \(X\) 的条件期望 \(\mathbb{E}[X | \mathcal{F}_t]\) 是在时刻 \(t\) 已知信息下对 \(X\) 的最优预测。鞅 (Martingale) 条件要求 \(\mathbb{E}[X_{t+s} | \mathcal{F}_t] = X_t\)。

布朗运动 (Brownian Motion)

标准布朗运动 \(W_t\) 是连续时间随机过程的核心构件，满足以下性质：

\(W_0 = 0\)
增量独立：对 \(0 \leq s < t\)，\(W_t - W_s\) 独立于 \(\mathcal{F}_s\)
增量服从正态分布：\(W_t - W_s \sim \mathcal{N}(0, t-s)\)
路径几乎处处连续

布朗运动的关键统计性质：

\[\mathbb{E}[W_t] = 0, \quad \text{Var}(W_t) = t, \quad \text{Cov}(W_s, W_t) = \min(s, t)\]

路径性质

布朗运动的路径虽然连续，但几乎处处不可微。这意味着传统微积分无法直接应用，需要引入伊藤积分 (Ito Integral)。

伊藤引理 (Ito's Lemma) 推导

设 \(X_t\) 满足随机微分方程 (SDE)：

\[dX_t = \mu(X_t, t)\,dt + \sigma(X_t, t)\,dW_t\]

对二次可微函数 \(f(X_t, t)\)，进行泰勒展开：

\[df = \frac{\partial f}{\partial t}dt + \frac{\partial f}{\partial x}dX_t + \frac{1}{2}\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(dX_t)^2 + \cdots\]

代入 \(dX_t\) 并利用伊藤乘法规则：

\[dt \cdot dt = 0, \quad dt \cdot dW_t = 0, \quad dW_t \cdot dW_t = dt\]

\((dX_t)^2\) 展开后仅保留 \(dt\) 阶项：

\[(dX_t)^2 = \sigma^2(dW_t)^2 = \sigma^2\,dt\]

最终得到伊藤引理：

\[\boxed{df = \left(\frac{\partial f}{\partial t} + \mu\frac{\partial f}{\partial x} + \frac{1}{2}\sigma^2\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}\right)dt + \sigma\frac{\partial f}{\partial x}\,dW_t}\]

与经典微积分的区别

伊藤引理相比普通链式法则多出 \(\frac{1}{2}\sigma^2 f''\) 项，这正是随机性带来的二阶修正，源于 \((dW_t)^2 = dt\) 这一非平凡性质。

几何布朗运动 (Geometric Brownian Motion)

股票价格最经典的模型是几何布朗运动 (GBM)：

\[dS_t = \mu S_t\,dt + \sigma S_t\,dW_t\]

其中 \(\mu\) 为漂移率 (Drift)，\(\sigma\) 为波动率 (Volatility)。

求解过程：令 \(f(S_t) = \ln S_t\)，由伊藤引理：

\[d(\ln S_t) = \frac{1}{S_t}dS_t - \frac{1}{2}\frac{1}{S_t^2}(dS_t)^2 = \left(\mu - \frac{\sigma^2}{2}\right)dt + \sigma\,dW_t\]

对两边积分得到解析解：

\[S_t = S_0 \exp\left[\left(\mu - \frac{\sigma^2}{2}\right)t + \sigma W_t\right]\]

应用：对数收益率

从上式可知，对数收益率 \(\ln(S_t/S_0) \sim \mathcal{N}\!\left((\mu - \sigma^2/2)t,\; \sigma^2 t\right)\)。注意期望收益率并非 \(\mu\)，而是 \(\mu - \sigma^2/2\)，这个凸性修正 (Convexity Correction) 在实际应用中不可忽略。

随机微分方程 (Stochastic Differential Equations)

金融中常见的 SDE 模型包括：

模型	SDE	应用场景
GBM	\(dS = \mu S\,dt + \sigma S\,dW\)	股票价格
Vasicek	\(dr = a(b-r)\,dt + \sigma\,dW\)	利率建模
CIR	\(dr = a(b-r)\,dt + \sigma\sqrt{r}\,dW\)	利率（保证非负）
Heston	\(dv = \kappa(\theta - v)\,dt + \xi\sqrt{v}\,dW\)	随机波动率

这些模型的共同特征是通过漂移项和扩散项分别刻画趋势和随机波动，构成了衍生品定价和风险管理的数学基础。