蒙特卡洛模拟

基本原理 (Random Sampling)

蒙特卡洛方法 (Monte Carlo Simulation) 的核心思想是利用大数定律 (Law of Large Numbers)：通过大量随机抽样来近似期望值。

对于需要计算的期望 \(\mathbb{E}[f(X)]\)，生成 \(N\) 个独立同分布样本 \(X_1, X_2, \ldots, X_N\)，则：

\[\hat{\mu}_N = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}f(X_i) \xrightarrow{a.s.} \mathbb{E}[f(X)] \quad (N \to \infty)\]

由中心极限定理 (CLT)，估计量的误差为：

\[\hat{\mu}_N \sim \mathcal{N}\!\left(\mu,\; \frac{\sigma^2}{N}\right), \quad \text{标准误差} = \frac{\sigma}{\sqrt{N}}\]

收敛速度

蒙特卡洛方法的收敛速度为 \(O(1/\sqrt{N})\)，与维度无关。这使得它在高维问题中相比网格法 (Grid Method) 具有巨大优势——这正是量化金融中广泛使用它的原因。

在风险中性测度 \(\mathbb{Q}\) 下，欧式期权价格为：

\[V_0 = e^{-rT}\,\mathbb{E}^{\mathbb{Q}}[\text{Payoff}(S_T)]\]

GBM 路径模拟：由几何布朗运动的解析解，直接生成终端价格：

\[S_T = S_0 \exp\!\left[\left(r - \frac{\sigma^2}{2}\right)T + \sigma\sqrt{T}\,Z\right], \quad Z \sim \mathcal{N}(0,1)\]

对于路径依赖期权 (Path-dependent Options)，需要在时间网格上逐步模拟：

\[S_{t+\Delta t} = S_t \exp\!\left[\left(r - \frac{\sigma^2}{2}\right)\Delta t + \sigma\sqrt{\Delta t}\,Z_t\right]\]

定价流程

蒙特卡洛的主要缺点是收敛慢。将标准误差减半需要 \(4\) 倍样本量。方差缩减技术通过降低 \(\sigma^2\) 来提高效率。

若 \(Z \sim \mathcal{N}(0,1)\)，则 \(-Z\) 同样服从标准正态。利用 \(Z\) 和 \(-Z\) 分别生成两条路径，取平均：

\[\hat{\mu}_{\text{AV}} = \frac{1}{2N}\sum_{i=1}^{N}\left[f(Z_i) + f(-Z_i)\right]\]

方差为：

\[\text{Var}(\hat{\mu}_{\text{AV}}) = \frac{1}{4N}\left[\text{Var}(f(Z)) + \text{Var}(f(-Z)) + 2\text{Cov}(f(Z), f(-Z))\right]\]

当 \(f\) 是单调函数时，\(\text{Cov}(f(Z), f(-Z)) < 0\)，从而方差显著降低。

效率提升

对偶变量法实现简单，通常可将方差降低 50%-90%，在看涨/看跌期权等单调收益函数上效果最佳。

选取一个已知期望 \(\mathbb{E}[g(X)] = \mu_g\) 的控制变量 \(g(X)\)，构造修正估计量：

\[\hat{\mu}_{\text{CV}} = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}\left[f(X_i) - b\left(g(X_i) - \mu_g\right)\right]\]

最优系数 \(b^* = \text{Cov}(f,g)/\text{Var}(g)\)，方差缩减比例为：

\[\frac{\text{Var}(\hat{\mu}_{\text{CV}})}{\text{Var}(\hat{\mu})} = 1 - \rho_{fg}^2\]

其中 \(\rho_{fg}\) 为 \(f\) 与 \(g\) 的相关系数。在期权定价中，常用 BSM 解析价格或标的资产本身作为控制变量。

改变抽样分布以增加"重要"区域的采样密度。将期望改写为：

\[\mathbb{E}_p[f(X)] = \mathbb{E}_q\!\left[f(X)\frac{p(X)}{q(X)}\right]\]

其中 \(p\) 为原始分布，\(q\) 为提议分布 (Proposal Distribution)，\(w(X) = p(X)/q(X)\) 为似然比 (Likelihood Ratio)。

最优提议分布理论上为 \(q^*(x) \propto |f(x)|p(x)\)，但实际中难以精确实现。

退化问题

重要性抽样如果提议分布选择不当，可能导致少数样本具有极大权重，反而增加方差。应用时需仔细验证权重分布的合理性。

将样本空间划分为 \(K\) 个互不重叠的层 \(A_1, \ldots, A_K\)，在每层内独立抽样。当层内方差小于总体方差时，分层抽样可降低估计方差：

\[\text{Var}(\hat{\mu}_{\text{SS}}) = \sum_{k=1}^{K}\frac{p_k^2 \sigma_k^2}{n_k} \leq \frac{\sigma^2}{N}\]

技术	实现难度	典型方差缩减	适用场景
对偶变量	低	50%-90%	单调收益函数
控制变量	中	取决于相关性	存在解析近似
重要性抽样	高	可达数个量级	稀有事件定价
分层抽样	中	30%-60%	低维问题

准蒙特卡洛 (Quasi-Monte Carlo)

使用低差异序列 (Low-discrepancy Sequence)（如 Sobol、Halton 序列）替代伪随机数，收敛速度可提升至接近 \(O(1/N)\)，在中等维度（\(d < 50\)）的金融问题中表现优异。