风险与收益的度量

预期收益（Expected Return）

投资决策的核心在于对收益与风险的权衡。预期收益是对未来可能回报的概率加权平均：

\[ E(R) = \sum_{i=1}^{n} p_i \cdot R_i \]

其中 $p_i$ 为第 $i$ 种情景的概率，$R_i$ 为该情景下的收益率。

在实务中，我们常使用历史平均收益率作为预期收益的估计：

\[ \bar{R} = \frac{1}{T} \sum_{t=1}^{T} R_t \]

算术平均 vs 几何平均

算术平均（Arithmetic Mean）适用于估计未来单期预期收益；几何平均（Geometric Mean）更能反映长期复合增长率： $$ G = \left( \prod_{t=1}^{T} (1 + R_t) \right)^{1/T} - 1 $$

方差（Variance）衡量收益率围绕均值的离散程度：

\[ \sigma^2 = \sum_{i=1}^{n} p_i \cdot (R_i - E(R))^2 \]

标准差（Standard Deviation）$\sigma$ 即方差的平方根，是最常用的风险度量指标。标准差越大，收益的不确定性越高。

标准差的局限

标准差对称地惩罚上行和下行波动，但投资者通常只厌恶下行风险。这催生了下行风险度量指标的发展。

夏普比率（Sharpe Ratio）由 William Sharpe 提出，衡量每承担一单位总风险所获得的超额收益：

\[ S = \frac{E(R_p) - R_f}{\sigma_p} \]

其中 $R_f$ 为无风险利率（Risk-free Rate），$\sigma_p$ 为组合收益的标准差。

夏普比率越高，说明风险调整后的收益越好。一般而言：

索提诺比率（Sortino Ratio）仅考虑下行风险（Downside Risk），用下行标准差替代总标准差：

\[ \text{Sortino} = \frac{E(R_p) - R_f}{\sigma_d} \]

其中下行标准差定义为：

\[ \sigma_d = \sqrt{\frac{1}{T} \sum_{t=1}^{T} \min(R_t - R_f, 0)^2} \]

实务应用

对于收益分布不对称的策略（如期权策略、趋势跟踪），索提诺比率比夏普比率更具参考价值。

最大回撤（Maximum Drawdown, MDD）衡量从历史最高点到最低点的最大跌幅：

\[ \text{MDD} = \max_{t \in [0,T]} \left( \frac{\text{Peak}_t - \text{Trough}_t}{\text{Peak}_t} \right) \]

最大回撤是衡量极端风险的重要指标，直接反映投资者在最糟糕时期可能面临的资产缩水幅度。

案例

假设某基金净值从 100 上涨到 150，随后跌至 90，再回升至 120。最大回撤为 $(150 - 90) / 150 = 40\%$。这意味着投资者在最不利时刻将面临 40% 的账面亏损。

单一指标无法全面反映风险收益特征。实务中应综合使用以上指标：

结合定性分析（策略逻辑、市场环境、管理人能力），才能做出更全面的投资判断。