现代投资组合理论 MPT

概述

现代投资组合理论（Modern Portfolio Theory, MPT）由 Harry Markowitz 于 1952 年提出，核心思想是通过分散化（Diversification）降低风险，并在给定风险水平下最大化预期收益。

组合收益与风险

对于由 \(n\) 种资产构成的投资组合，各资产权重为 \(w_i\)，则组合的预期收益为：

\[ E(R_p) = \sum_{i=1}^{n} w_i \cdot E(R_i) \]

组合方差为：

\[ \sigma_p^2 = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} w_i w_j \sigma_{ij} = \mathbf{w}^\top \boldsymbol{\Sigma} \mathbf{w} \]

其中 \(\sigma_{ij} = \rho_{ij} \sigma_i \sigma_j\) 为资产 \(i\) 与 \(j\) 的协方差（Covariance），\(\boldsymbol{\Sigma}\) 为协方差矩阵。

两资产的特殊情形

当组合仅含两种资产时： $$ \sigma_p^2 = w_1^2 \sigma_1^2 + w_2^2 \sigma_2^2 + 2 w_1 w_2 \rho_{12} \sigma_1 \sigma_2 $$ 当 \(\rho_{12} < 1\) 时，组合风险低于各资产风险的加权平均，这就是分散化效应。

有效前沿（Efficient Frontier）

在均值-方差框架下，投资者的优化问题为：

\[ \min_{\mathbf{w}} \quad \mathbf{w}^\top \boldsymbol{\Sigma} \mathbf{w} \quad \text{s.t.} \quad \mathbf{w}^\top \boldsymbol{\mu} = \mu_p, \quad \mathbf{w}^\top \mathbf{1} = 1 \]

所有最优组合构成的曲线称为有效前沿（Efficient Frontier），位于均值-标准差平面上的一条向上凸出的曲线。有效前沿上方不存在更优组合——同等风险下收益最高，或同等收益下风险最低。

最小方差组合（Minimum Variance Portfolio）

有效前沿的最左端点为全局最小方差组合（Global Minimum Variance Portfolio, GMVP）：

\[ \mathbf{w}_{\text{GMVP}} = \frac{\boldsymbol{\Sigma}^{-1} \mathbf{1}}{\mathbf{1}^\top \boldsymbol{\Sigma}^{-1} \mathbf{1}} \]

该组合具有所有可行组合中最低的方差，是风险极度厌恶者的选择。

实务意义

GMVP 不依赖预期收益估计，仅需协方差矩阵，因此在预期收益难以估计时更加稳健。

两基金分离定理（Two-Fund Theorem）

两基金分离定理指出：有效前沿上的任意组合都可以由前沿上的任意两个不同组合线性组合而得。

设 \(\mathbf{w}_A\) 和 \(\mathbf{w}_B\) 为有效前沿上的两个组合，则任意有效组合可表示为：

\[ \mathbf{w}_p = \alpha \mathbf{w}_A + (1 - \alpha) \mathbf{w}_B, \quad \alpha \in \mathbb{R} \]

含无风险资产的情形

引入无风险资产后，有效前沿变为从 \(R_f\) 出发与风险资产有效前沿相切的直线，即资本市场线（Capital Market Line, CML）。此时只需持有无风险资产与切点组合（Tangency Portfolio）即可实现最优配置——这就是一基金分离定理（One-Fund Theorem）。

切点组合（Tangency Portfolio）

切点组合的权重为：

\[ \mathbf{w}_T = \frac{\boldsymbol{\Sigma}^{-1} (\boldsymbol{\mu} - R_f \mathbf{1})}{\mathbf{1}^\top \boldsymbol{\Sigma}^{-1} (\boldsymbol{\mu} - R_f \mathbf{1})} \]

切点组合具有所有风险资产组合中最高的夏普比率（Sharpe Ratio）。

MPT 的局限

• 假设收益服从正态分布，忽略了尾部风险（Tail Risk）
• 对输入参数（预期收益、协方差）高度敏感，小幅变动可能导致权重剧烈变化
• 单期模型，未考虑多期投资的动态调整
• 忽略交易成本、税收、流动性等现实约束

参数估计问题

Markowitz 模型被称为"误差最大化器"（Error Maximizer）——它倾向于给估计误差最大的资产分配极端权重。实务中常采用 Black-Litterman 模型或正则化方法来改善这一问题。