资本资产定价模型 CAPM

概述

资本资产定价模型（Capital Asset Pricing Model, CAPM）由 Sharpe、Lintner 和 Mossin 在 1960 年代独立提出，是现代金融学的基石之一。CAPM 在 MPT 的基础上回答了一个核心问题：在均衡状态下，资产的预期收益率应该是多少？

在 CAPM 框架下，所有投资者持有相同的市场组合（Market Portfolio）\(M\)，配合无风险资产调节风险敞口。有效组合的收益-风险关系为：

\[ E(R_p) = R_f + \frac{E(R_M) - R_f}{\sigma_M} \cdot \sigma_p \]

这条直线称为资本市场线（CML），斜率 \(\frac{E(R_M) - R_f}{\sigma_M}\) 即市场的夏普比率，也称为风险的市场价格（Market Price of Risk）。

CML 的适用范围

CML 仅适用于有效组合（即市场组合与无风险资产的线性组合），不适用于单个资产或非有效组合。

对于任意资产 \(i\)，考虑由资产 \(i\) 与市场组合 \(M\) 构成的组合，权重为 \(w\)：

\[ E(R_p) = w \cdot E(R_i) + (1 - w) \cdot E(R_M) \]

\[ \sigma_p = \sqrt{w^2 \sigma_i^2 + (1-w)^2 \sigma_M^2 + 2w(1-w)\sigma_{iM}} \]

在均衡状态下，市场组合已包含所有资产，因此 \(w = 0\) 处的斜率应等于 CML 的斜率。对 \(w\) 求导并令 \(w = 0\)：

\[ \left. \frac{dE(R_p)}{d\sigma_p} \right|_{w=0} = \frac{E(R_i) - E(R_M)}{(\sigma_{iM} - \sigma_M^2) / \sigma_M} = \frac{E(R_M) - R_f}{\sigma_M} \]

化简得到 CAPM 定价公式：

\[ E(R_i) = R_f + \beta_i \cdot [E(R_M) - R_f] \]

其中 \(\beta_i\) 定义为：

\[ \beta_i = \frac{\text{Cov}(R_i, R_M)}{\text{Var}(R_M)} = \frac{\sigma_{iM}}{\sigma_M^2} \]

Beta（\(\beta\)）衡量资产相对于市场的系统性风险（Systematic Risk）：

系统性风险 vs 非系统性风险

CAPM 的核心洞见是：只有系统性风险（Systematic Risk）才能获得风险补偿。非系统性风险（Unsystematic Risk）可以通过分散化消除，因此市场不会为其定价。

Jensen's Alpha（\(\alpha\)）衡量资产或组合相对于 CAPM 预测的超额收益：

\[ \alpha_i = R_i - [R_f + \beta_i (R_M - R_f)] \]

基金评价

Alpha 是评价基金经理选股能力的核心指标。持续为正的 Alpha 意味着基金经理能够创造超越市场基准的风险调整后收益。

CAPM 的不足催生了多因子模型的发展：

尽管 CAPM 在实证上存在不足，其核心思想——风险与收益的系统性关系、分散化的价值——仍是现代投资理论的基础。