久期与凸性

概述

久期（Duration）和凸性（Convexity）是度量债券价格对利率变动敏感性的核心工具。掌握这两个概念对于固定收益投资和利率风险管理至关重要。

麦考利久期（Macaulay Duration）

麦考利久期（Macaulay Duration）衡量债券现金流的加权平均回收时间，权重为各期现金流现值占总价格的比例：

\[ D_{\text{Mac}} = \frac{\sum_{t=1}^{T} t \cdot \frac{CF_t}{(1+y)^t}}{P} = \sum_{t=1}^{T} t \cdot w_t \]

其中 \(w_t = \frac{CF_t / (1+y)^t}{P}\) 为第 \(t\) 期现金流现值的权重。

计算示例

3 年期债券，面值 100，票息率 6%，YTM = 8%。

年份 \(t\)	现金流	现值	权重 \(w_t\)	\(t \times w_t\)
1	6	5.556	0.0579	0.0579
2	6	5.144	0.0536	0.1073
3	106	84.168	0.8884	2.6653
合计		94.868	1.0000	2.8305

麦考利久期 = 2.83 年。

久期的性质

• 零息债券的久期等于其到期期限
• 付息债券的久期小于其到期期限
• 票息率越高，久期越短（更多现金流提前收回）
• YTM 越高，久期越短（远期现金流现值权重降低）
• 永续债券的久期为 \(D = \frac{1+y}{y}\)

修正久期（Modified Duration）

修正久期（Modified Duration）直接衡量价格对收益率变动的百分比敏感度：

\[ D_{\text{mod}} = \frac{D_{\text{Mac}}}{1 + y} \]

价格变动的近似公式：

\[ \frac{\Delta P}{P} \approx -D_{\text{mod}} \cdot \Delta y \]

解读

修正久期为 5 意味着：收益率上升 1%（100 个基点），债券价格约下跌 5%。久期是利率风险的一阶度量。

凸性（Convexity）

久期是价格-收益率关系的线性近似，而真实关系是凸的。凸性（Convexity）捕捉这一非线性效应：

\[ C = \frac{1}{P} \cdot \frac{d^2P}{dy^2} = \frac{1}{P(1+y)^2} \sum_{t=1}^{T} \frac{CF_t \cdot t(t+1)}{(1+y)^t} \]

加入凸性修正后的价格变动公式：

\[ \frac{\Delta P}{P} \approx -D_{\text{mod}} \cdot \Delta y + \frac{1}{2} C \cdot (\Delta y)^2 \]

凸性的意义

• 凸性始终为正（对于无嵌入期权的债券）
• 凸性项 \(\frac{1}{2} C (\Delta y)^2 > 0\)，意味着： - 利率下降时，实际价格涨幅 > 久期预测 - 利率上升时，实际价格跌幅 < 久期预测
• 凸性是"好事"：在其他条件相同的情况下，投资者偏好高凸性的债券

大幅利率变动

当利率变动较大（> 100 bps）时，仅用久期近似会产生显著误差，必须加入凸性修正。对于小幅变动（< 25 bps），久期近似已足够准确。

有效久期与有效凸性

对于含嵌入期权的债券（如可赎回债券），解析公式不适用，需使用有效久期（Effective Duration）：

\[ D_{\text{eff}} = \frac{P_{y-\Delta y} - P_{y+\Delta y}}{2 \cdot P_0 \cdot \Delta y} \]

有效凸性（Effective Convexity）：

\[ C_{\text{eff}} = \frac{P_{y-\Delta y} + P_{y+\Delta y} - 2P_0}{P_0 \cdot (\Delta y)^2} \]

这种数值方法通过微小的收益率扰动来估计敏感度，适用于任何类型的债券。

免疫策略（Immunization）

免疫（Immunization）是利用久期匹配来对冲利率风险的策略。

基本原理

当组合的久期等于投资期限时，利率变动导致的价格效应和再投资效应相互抵消：

• 利率上升：债券价格下降（损失），但再投资收益增加（收益）
• 利率下降：债券价格上升（收益），但再投资收益减少（损失）

实施条件

\[ D_{\text{portfolio}} = D_{\text{liability}} = \text{投资期限} \]

\[ \text{组合现值} \geq \text{负债现值} \]

免疫的局限

• 仅对收益率曲线平行移动有效
• 需要定期再平衡（Rebalancing），因为久期随时间和利率变化
• 不能完全消除非平行移动风险（需要关键利率久期匹配）
• 含嵌入期权的债券使免疫更加复杂

现金流匹配（Cash Flow Matching）

更保守的策略是直接用债券现金流匹配负债现金流，也称为专用策略（Dedication Strategy）。优点是不需要再平衡，但成本通常更高。

组合久期

投资组合的久期是各成分债券久期的加权平均：

\[ D_p = \sum_{i=1}^{n} w_i \cdot D_i \]

其中 \(w_i\) 为第 \(i\) 只债券的市值权重。通过调整组合中不同久期债券的比例，可以主动管理利率风险敞口。