债券定价与收益率

概述

债券（Bond）是最重要的固定收益证券。理解债券定价的核心在于掌握现金流折现原理以及收益率的多种度量方式。

债券定价基础

一只付息债券的价格等于所有未来现金流的现值：

\[ P = \sum_{t=1}^{T} \frac{C}{(1+y)^t} + \frac{F}{(1+y)^T} \]

其中 \(C\) 为每期票息，\(F\) 为面值（Face Value），\(y\) 为折现率，\(T\) 为剩余期数。

价格与收益率的反向关系

债券价格与收益率呈反向关系：收益率上升 → 价格下降；收益率下降 → 价格上升。这是固定收益投资的最基本规律。

到期收益率（Yield to Maturity, YTM）

YTM 是使债券价格等于未来现金流现值的折现率，即以下方程的解：

\[ P = \sum_{t=1}^{T} \frac{C}{(1 + \text{YTM})^t} + \frac{F}{(1 + \text{YTM})^T} \]

YTM 的隐含假设：

• 持有至到期
• 所有票息按 YTM 再投资
• 发行人不违约

YTM 的局限

再投资假设在现实中很难成立——未来的再投资利率是不确定的。对于利率波动较大的环境，YTM 可能高估或低估实际收益。

价格与 YTM 的关系

条件	价格	称谓
YTM < 票息率	\(P > F\)	溢价债券（Premium Bond）
YTM = 票息率	\(P = F\)	平价债券（Par Bond）
YTM > 票息率	\(P < F\)	折价债券（Discount Bond）

即期利率（Spot Rate）

即期利率 \(s_t\) 是零息债券的到期收益率，代表从现在到 \(t\) 时刻的无风险利率：

\[ P_{\text{zero}} = \frac{F}{(1 + s_t)^t} \]

用即期利率为付息债券定价更为精确：

\[ P = \sum_{t=1}^{T} \frac{C}{(1 + s_t)^t} + \frac{F}{(1 + s_T)^T} \]

每笔现金流使用对应期限的即期利率折现，避免了 YTM 的"一刀切"问题。

远期利率（Forward Rate）

远期利率 \(f_{t_1, t_2}\) 是隐含在当前即期利率曲线中的未来利率。根据无套利条件：

\[ (1 + s_2)^2 = (1 + s_1)(1 + f_{1,2}) \]

一般化：

\[ f_{t, t+1} = \frac{(1 + s_{t+1})^{t+1}}{(1 + s_t)^t} - 1 \]

远期利率的含义

远期利率不是对未来利率的预测，而是当前市场定价隐含的"盈亏平衡利率"。根据预期假说（Expectations Hypothesis），远期利率等于预期的未来即期利率；但实际中还包含期限溢价（Term Premium）。

自举法（Bootstrapping）

当市场上只有付息债券而缺少零息债券时，可通过自举法从付息债券价格逐步推算即期利率。

步骤

1. 从最短期限的债券开始（如 6 个月），直接得到 \(s_1\)
2. 利用已知的 \(s_1\)，从 1 年期债券价格求解 \(s_2\)
3. 依此类推，逐步求出更长期限的即期利率

自举法示例

已知 1 年期零息债券价格为 96（面值 100），2 年期付息债券面值 100、票息 5%、价格 99。

第一步：\(s_1 = \frac{100}{96} - 1 = 4.17\%\)

第二步： $$ 99 = \frac{5}{1 + 0.0417} + \frac{105}{(1+s_2)^2} $$ $$ 99 = 4.80 + \frac{105}{(1+s_2)^2} $$ $$ (1+s_2)^2 = \frac{105}{94.20} = 1.1146 $$ $$ s_2 = 5.57\% $$

收益率曲线（Yield Curve）

收益率曲线描绘了不同期限债券收益率之间的关系。常见形态：

• 正常（Normal）：短期利率 < 长期利率，向上倾斜
• 平坦（Flat）：各期限利率接近
• 倒挂（Inverted）：短期利率 > 长期利率
• 驼峰（Humped）：中期利率最高

收益率曲线理论

理论	核心观点
预期假说	长期利率是预期未来短期利率的平均
流动性偏好	投资者偏好短期债券，长期债券需补偿流动性溢价
市场分割	不同期限的债券市场相互独立，利率由各市场供需决定
期限偏好	投资者有特定期限偏好，但在足够补偿下可以转移

收益率曲线倒挂与经济衰退

历史上，收益率曲线倒挂（尤其是 2 年期与 10 年期国债利率倒挂）是经济衰退的可靠领先指标。自 1950 年以来，每次美国经济衰退前都出现了曲线倒挂。