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期权定价

概述

期权（Option）赋予持有者在约定时间以约定价格买入或卖出标的资产的权利（而非义务）。期权定价是金融工程的核心课题，二叉树模型（Binomial Model）和 Black-Scholes-Merton（BSM）模型是两大基石。

期权基础

  • 看涨期权（Call）：买入权利，到期价值 \(\max(S_T - K, 0)\)
  • 看跌期权（Put）：卖出权利，到期价值 \(\max(K - S_T, 0)\)
  • 行权价（Strike Price, \(K\)）
  • 权利金（Premium）：期权的市场价格

看涨-看跌平价关系（Put-Call Parity）：

\[ C - P = S_0 - K \cdot e^{-rT} \]

二叉树模型（Binomial Model）

单期模型

假设股价在一期后只有两种可能：上涨至 \(S_u = S_0 \cdot u\) 或下跌至 \(S_d = S_0 \cdot d\)。

构建无风险组合：持有 \(\Delta\) 股股票和 1 份空头看涨期权，使组合在两种情景下价值相等：

\[ \Delta = \frac{C_u - C_d}{S_u - S_d} = \frac{C_u - C_d}{S_0(u - d)} \]

这个 \(\Delta\) 就是期权的对冲比率（Hedge Ratio / Delta）。

风险中性定价

在风险中性测度下，股票的预期收益率等于无风险利率。风险中性上涨概率为：

\[ p = \frac{e^{rT} - d}{u - d} \]

期权价值：

\[ C = e^{-rT} [p \cdot C_u + (1-p) \cdot C_d] \]

多期模型

将到期时间 \(T\) 分为 \(n\) 步，每步时间 \(\Delta t = T/n\)。常用参数设置（CRR 模型）：

\[ u = e^{\sigma\sqrt{\Delta t}}, \quad d = e^{-\sigma\sqrt{\Delta t}} = \frac{1}{u} \]

通过倒推法（Backward Induction）从到期日逐步折现至当前时刻。

二叉树的收敛性

当步数 \(n \to \infty\) 时，二叉树模型收敛至 BSM 模型。实务中，200-500 步已能达到很高的精度。二叉树的优势在于能处理美式期权和路径依赖期权。

Black-Scholes-Merton 模型

假设条件

  • 标的资产价格服从几何布朗运动（GBM）
  • 无交易成本、无税收
  • 可连续交易，可卖空
  • 无风险利率恒定
  • 标的资产在期权存续期内不支付股息

BSM 公式

欧式看涨期权：

\[ C = S_0 N(d_1) - K e^{-rT} N(d_2) \]

欧式看跌期权：

\[ P = K e^{-rT} N(-d_2) - S_0 N(-d_1) \]

其中：

\[ d_1 = \frac{\ln(S_0 / K) + (r + \sigma^2/2)T}{\sigma\sqrt{T}} \]
\[ d_2 = d_1 - \sigma\sqrt{T} \]

\(N(\cdot)\) 为标准正态分布的累积分布函数。

推导思路

BSM 公式可通过多种方式推导：

  1. 偏微分方程法：构建 Delta 对冲组合，消除风险，得到 BSM PDE： $$ \frac{\partial V}{\partial t} + rS\frac{\partial V}{\partial S} + \frac{1}{2}\sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} = rV $$
  2. 风险中性定价：在风险中性测度下，期权价值等于到期价值的贴现期望： $$ C = e^{-rT} \cdot E^{\mathbb{Q}}[\max(S_T - K, 0)] $$
  3. 二叉树极限：多期二叉树模型在 \(n \to \infty\) 时的极限

BSM 公式的直觉解读

\(C = S_0 N(d_1) - K e^{-rT} N(d_2)\) 可解读为：

  • \(N(d_2)\)：风险中性下期权到期为实值（In-the-Money）的概率
  • \(K e^{-rT} N(d_2)\)：行权价的现值乘以行权概率 = 预期支出的现值
  • \(S_0 N(d_1)\)：Delta 调整后的股票价值 = 预期收到的标的资产价值

希腊字母（Greeks）

Greeks 衡量期权价格对各种因素的敏感度：

Delta (\(\Delta\))

\[ \Delta_{\text{call}} = N(d_1), \quad \Delta_{\text{put}} = N(d_1) - 1 \]

Delta 衡量标的价格变动 1 单位时期权价格的变动。

  • 实值看涨期权 \(\Delta \to 1\)，虚值 \(\Delta \to 0\)
  • Delta 也近似等于期权到期为实值的概率（风险中性下）

Gamma (\(\Gamma\))

\[ \Gamma = \frac{N'(d_1)}{S_0 \sigma \sqrt{T}} \]

Gamma 衡量 Delta 对标的价格的变化率（二阶导数）。

  • 平值期权 Gamma 最大
  • 临近到期时平值期权 Gamma 急剧增大
  • Gamma 风险：Delta 对冲需要频繁调整

Theta (\(\Theta\))

\[ \Theta_{\text{call}} = -\frac{S_0 N'(d_1) \sigma}{2\sqrt{T}} - rKe^{-rT}N(d_2) \]

Theta 衡量时间流逝对期权价值的影响（时间价值衰减，Time Decay）。

  • Theta 通常为负——期权价值随时间衰减
  • 临近到期时，平值期权的 Theta 衰减加速

Vega (\(\mathcal{V}\))

\[ \mathcal{V} = S_0 \sqrt{T} \cdot N'(d_1) \]

Vega 衡量波动率变动 1% 对期权价格的影响。

  • 平值期权 Vega 最大
  • 长期期权 Vega 大于短期期权

Greeks 的关系

BSM PDE 可改写为 Greeks 的关系式： $$ \Theta + rS\Delta + \frac{1}{2}\sigma^2 S^2 \Gamma = rV $$ 这意味着 Theta、Delta 和 Gamma 之间存在内在联系，不能独立调整一个而不影响其他。