风险中性定价

风险中性定价 (Risk-Neutral Pricing) 是无套利定价原理的优雅数学表达。其核心思想是：在无套利市场中，存在一个等价概率测度，使得所有资产的折现价格过程成为鞅 (Martingale)。在该测度下进行期望计算，即可直接得到资产的公允价格。

从物理测度到风险中性测度

物理测度

在现实世界中，资产价格由物理概率测度 (Physical Probability Measure) \(\mathbb{P}\) 支配。在 \(\mathbb{P}\) 下，投资者因承担风险而要求风险溢价 (Risk Premium)，不同资产的期望收益率不同：

\[ E^{\mathbb{P}}[R_i] = r_f + \lambda_i \]

其中 \(\lambda_i\) 为资产 \(i\) 的风险溢价。

风险中性测度

风险中性测度 (Risk-Neutral Measure)，记为 \(\mathbb{Q}\)，是一个等价概率测度 (Equivalent Probability Measure)，满足：与 \(\mathbb{P}\) 具有相同的零概率事件（即 \(\mathbb{Q} \sim \mathbb{P}\)），但在 \(\mathbb{Q}\) 下，所有资产的期望收益率等于无风险利率：

\[ E^{\mathbb{Q}}[R_i] = r_f, \quad \forall i \]

风险中性测度并非"风险中性世界"

风险中性测度是一种数学工具，而非对现实世界投资者偏好的描述。在 \(\mathbb{Q}\) 下计算期望值，本质上是将风险溢价"吸收"到概率权重中，从而将定价问题简化为折现期望现金流的计算。

等价鞅测度

鞅的定义

随机过程 \(\{X_t\}\) 在概率测度 \(\mathbb{Q}\) 下是鞅 (Martingale)，如果对所有 \(s < t\)：

\[ E^{\mathbb{Q}}[X_t \mid \mathcal{F}_s] = X_s \]

其中 \(\mathcal{F}_s\) 为到时间 \(s\) 为止的信息集 (Filtration)。直觉上，鞅过程的"最佳预测"就是其当前值。

折现价格过程为鞅

设无风险资产的价值过程为 \(B_t = e^{rt}\)（连续复利）。在风险中性测度 \(\mathbb{Q}\) 下，任何可交易资产的折现价格过程 (Discounted Price Process) 是鞅：

\[ E^{\mathbb{Q}}\left[\frac{S_t}{B_t} \bigg| \mathcal{F}_s\right] = \frac{S_s}{B_s}, \quad \forall s < t \]

等价地，资产在时刻 \(s\) 的价格可表示为：

\[ S_s = B_s \cdot E^{\mathbb{Q}}\left[\frac{S_t}{B_t} \bigg| \mathcal{F}_s\right] = e^{-r(t-s)} E^{\mathbb{Q}}[S_t \mid \mathcal{F}_s] \]

风险中性定价公式

一般定价公式

对于到期日为 \(T\)、收益为 \(V_T\) 的或有权益 (Contingent Claim)，其在时刻 \(t\) 的无套利价格为：

\[ V_t = e^{-r(T-t)} E^{\mathbb{Q}}[V_T \mid \mathcal{F}_t] \]

这就是风险中性定价公式 (Risk-Neutral Pricing Formula)。它将定价问题转化为在 \(\mathbb{Q}\) 测度下计算折现期望值的问题。

应用：Black-Scholes 公式

假设标的资产在 \(\mathbb{Q}\) 下服从几何布朗运动：

\[ dS_t = rS_t \, dt + \sigma S_t \, dW_t^{\mathbb{Q}} \]

其中 \(W_t^{\mathbb{Q}}\) 是 \(\mathbb{Q}\) 下的标准布朗运动。注意漂移项为 \(r\)（而非物理测度下的 \(\mu\)）。

对到期收益为 \(\max(S_T - K, 0)\) 的欧式看涨期权，应用风险中性定价公式并经过推导，得到著名的 Black-Scholes 公式：

\[ C = S_0 N(d_1) - K e^{-rT} N(d_2) \]

其中：

\[ d_1 = \frac{\ln(S_0/K) + (r + \sigma^2/2)T}{\sigma\sqrt{T}}, \quad d_2 = d_1 - \sigma\sqrt{T} \]

\(N(\cdot)\) 为标准正态分布的累积分布函数。

Black-Scholes公式中不含\(\\mu\)

Black-Scholes 公式中不包含标的资产的期望收益率 \(\mu\)，这是风险中性定价的直接体现。无论投资者对标的资产的未来预期如何（即 \(\mu\) 取何值），只要认同无套利条件和波动率 \(\sigma\) 的估计，就会对期权给出相同的价格。

Girsanov定理与测度变换

Radon-Nikodym导数

从 \(\mathbb{P}\) 到 \(\mathbb{Q}\) 的测度变换由 Radon-Nikodym 导数 (Radon-Nikodym Derivative) \(\frac{d\mathbb{Q}}{d\mathbb{P}}\) 刻画。对于任意随机变量 \(X\)：

\[ E^{\mathbb{Q}}[X] = E^{\mathbb{P}}\left[X \cdot \frac{d\mathbb{Q}}{d\mathbb{P}}\right] \]

Girsanov定理

Girsanov 定理 (Girsanov's Theorem) 给出了布朗运动在测度变换下的具体形式。若在 \(\mathbb{P}\) 下标的资产满足：

\[ dS_t = \mu S_t \, dt + \sigma S_t \, dW_t^{\mathbb{P}} \]

定义市场风险价格 (Market Price of Risk)：

\[ \gamma = \frac{\mu - r}{\sigma} \]

则 \(W_t^{\mathbb{Q}} = W_t^{\mathbb{P}} + \gamma t\) 是 \(\mathbb{Q}\) 下的标准布朗运动，且在 \(\mathbb{Q}\) 下：

\[ dS_t = rS_t \, dt + \sigma S_t \, dW_t^{\mathbb{Q}} \]

Radon-Nikodym 导数为：

\[ \frac{d\mathbb{Q}}{d\mathbb{P}} = \exp\left(-\gamma W_T^{\mathbb{P}} - \frac{1}{2}\gamma^2 T\right) \]

风险中性定价的适用条件

风险中性定价要求市场无套利且满足一定的技术条件（如 Novikov 条件确保测度变换的合法性）。在不完全市场中，等价鞅测度不唯一，需要额外的准则（如效用最大化或最小熵）来选择特定的定价测度。

多资产与多期的推广

风险中性定价框架自然推广至多资产和连续时间情形。在多维情形下，设有 \(n\) 个风险资产和 \(n\) 维布朗运动，市场风险价格向量为：

\[ \boldsymbol{\gamma} = \boldsymbol{\sigma}^{-1}(\boldsymbol{\mu} - r\mathbf{1}) \]

其中 \(\boldsymbol{\sigma}\) 为波动率矩阵，\(\boldsymbol{\mu}\) 为期望收益率向量。若 \(\boldsymbol{\sigma}\) 可逆，则 \(\boldsymbol{\gamma}\) 唯一确定，等价鞅测度唯一，市场完全。