资产定价基本定理

资产定价基本定理 (Fundamental Theorems of Asset Pricing, FTAP) 建立了无套利条件、等价鞅测度存在性与市场完全性之间的深刻联系。这两个定理构成了现代数理金融学的理论基石。

预备概念

市场模型

考虑一个离散时间有限状态的证券市场模型。设有 \(N+1\) 种可交易资产（包括一种无风险资产），概率空间为 \((\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})\)，其中状态空间 \(\Omega = \{\omega_1, \omega_2, \ldots, \omega_M\}\) 包含 \(M\) 个可能的未来状态，且 \(\mathbb{P}(\omega_j) > 0, \; \forall j\)。

无风险资产的价格过程为 \(B_0 = 1, B_1 = 1+r\)。风险资产 \(i\) 的当前价格为 \(S_0^i\)，在状态 \(\omega_j\) 下的未来价格为 \(S_1^i(\omega_j)\)。

折现价格 (Discounted Price) 定义为：

\[ \tilde{S}_1^i(\omega_j) = \frac{S_1^i(\omega_j)}{1+r} \]

等价鞅测度

概率测度 \(\mathbb{Q}\) 称为等价鞅测度 (Equivalent Martingale Measure, EMM)，如果：

\(\mathbb{Q} \sim \mathbb{P}\)（等价性）：\(\mathbb{Q}(\omega_j) > 0, \; \forall j\)；
折现价格过程在 \(\mathbb{Q}\) 下为鞅：

\[ S_0^i = E^{\mathbb{Q}}[\tilde{S}_1^i] = \frac{1}{1+r} \sum_{j=1}^{M} \mathbb{Q}(\omega_j) \cdot S_1^i(\omega_j), \quad \forall i \]

第一基本定理

定理陈述

资产定价第一基本定理 (First Fundamental Theorem of Asset Pricing)：

市场无套利的充要条件是存在至少一个等价鞅测度 \(\mathbb{Q}\)。

\[ \text{No Arbitrage} \iff \exists \; \mathbb{Q} \sim \mathbb{P} \text{ such that } S_0^i = E^{\mathbb{Q}}[\tilde{S}_1^i], \; \forall i \]

直觉理解

该定理将经济学概念（无套利）与数学概念（等价鞅测度）联系起来。

必要性（EMM \(\Rightarrow\) NA）：若存在 \(\mathbb{Q}\)，设投资组合 \(\theta\) 满足 \(V_1(\theta, \omega) \geq 0, \; \forall \omega\)，则由 \(\mathbb{Q}(\omega_j) > 0\)：

\[ V_0(\theta) = E^{\mathbb{Q}}[\tilde{V}_1(\theta)] = \frac{1}{1+r}\sum_j \mathbb{Q}(\omega_j) V_1(\theta, \omega_j) \geq 0 \]

且等号成立当且仅当 \(V_1(\theta, \omega_j) = 0, \; \forall j\)。因此不存在套利。

充分性（NA \(\Rightarrow\) EMM）的证明较为复杂，在有限维情形下依赖于分离超平面定理 (Separating Hyperplane Theorem)，在一般情形下需要 Hahn-Banach 定理的推广。

有限维与无穷维的区别

在有限状态模型中，第一基本定理的证明相对简洁。但在连续时间无穷维模型中，需要将"无套利"加强为"无免费午餐且含消失风险" (No Free Lunch with Vanishing Risk, NFLVR) 条件。这一推广由 Delbaen 和 Schachermayer (1994) 完成，是数理金融学的里程碑成果。

第二基本定理

定理陈述

资产定价第二基本定理 (Second Fundamental Theorem of Asset Pricing)：

在无套利市场中，市场完全的充要条件是等价鞅测度唯一。

\[ \text{Market Completeness} \iff \mathbb{Q} \text{ is unique} \]

证明思路

市场完全 \(\Rightarrow\) EMM 唯一：若市场完全，任意或有权益 \(V_T\) 都可以被复制，其价格由复制成本唯一确定。对任意两个等价鞅测度 \(\mathbb{Q}_1, \mathbb{Q}_2\)：

\[ E^{\mathbb{Q}_1}[\tilde{V}_T] = V_0 = E^{\mathbb{Q}_2}[\tilde{V}_T], \quad \forall V_T \]

这要求 \(\mathbb{Q}_1 = \mathbb{Q}_2\)。

EMM 唯一 \(\Rightarrow\) 市场完全：若 EMM 唯一，取任意或有权益 \(V_T\)，其价格 \(V_0 = E^{\mathbb{Q}}[\tilde{V}_T]\) 唯一确定。可以证明，在线性定价泛函唯一的条件下，\(V_T\) 可以被已有资产复制。

状态数与资产数的关系

在离散有限状态模型中，收益矩阵 \(D \in \mathbb{R}^{M \times (N+1)}\) 的秩决定了市场完全性：

\[ \text{Market is complete} \iff \text{rank}(D) = M \]

这要求可交易资产数量（包含无风险资产）至少等于状态数：\(N + 1 \geq M\)。

完全市场与不完全市场的定价差异

在完全市场中，每个或有权益都有唯一的无套利价格。在不完全市场中，不可复制的或有权益具有一个价格区间 \([\underline{V}_0, \overline{V}_0]\)，由所有等价鞅测度给出：

\[\underline{V}_0 = \inf_{\mathbb{Q} \in \mathcal{Q}} E^{\mathbb{Q}}[\tilde{V}_T], \quad \overline{V}_0 = \sup_{\mathbb{Q} \in \mathcal{Q}} E^{\mathbb{Q}}[\tilde{V}_T]\]

其中 \(\mathcal{Q}\) 为所有等价鞅测度的集合。

两个定理的统一视角

两个基本定理可以用以下逻辑链条统一理解：

\[ \text{NA} \xLeftrightarrow{\text{FTAP I}} \mathcal{Q} \neq \emptyset \quad \xrightarrow{\text{FTAP II}} \quad |\mathcal{Q}| = 1 \iff \text{Complete Market} \]

即：无套利等价于等价鞅测度集合非空；市场完全等价于该集合恰好包含一个元素。

与状态价格的联系

等价鞅测度 \(\mathbb{Q}\) 与状态价格 (State Prices) \(\{\psi_j\}\) 之间的关系为：

\[ \psi_j = \frac{\mathbb{Q}(\omega_j)}{1+r} \]

因此，\(\mathbb{Q}(\omega_j) = (1+r)\psi_j\)。由 \(\sum_j \mathbb{Q}(\omega_j) = 1\)，得到 \(\sum_j \psi_j = \frac{1}{1+r}\)，即所有状态价格之和等于无风险资产的折现因子。

资产的定价公式可等价地写为：

\[ S_0^i = \sum_{j=1}^{M} \psi_j \cdot S_1^i(\omega_j) = \frac{1}{1+r}\sum_{j=1}^{M} \mathbb{Q}(\omega_j) \cdot S_1^i(\omega_j) \]

从FTAP到随机折现因子

状态价格可以进一步表示为 \(\psi_j = \mathbb{P}(\omega_j) \cdot m(\omega_j)\)，其中 \(m(\omega_j) = \frac{\psi_j}{\mathbb{P}(\omega_j)}\) 即随机折现因子 (Stochastic Discount Factor, SDF)。这建立了从 FTAP 到 SDF 理论的桥梁，将在后续文章中详细展开。

连续时间的推广

在连续时间模型中，资产定价基本定理的表述需要更精细的数学工具：

第一基本定理：NFLVR 条件等价于存在与 \(\mathbb{P}\) 等价的 \(\sigma\)-鞅测度 (Sigma-Martingale Measure)。
第二基本定理：在 NFLVR 条件下，市场完全等价于等价局部鞅测度 (Equivalent Local Martingale Measure) 唯一。

在 Black-Scholes 模型中，波动率矩阵可逆保证了 EMM 的唯一性，从而市场完全，每个欧式期权都有唯一的无套利价格。