时间价值：现值与终值

金融学的第一原理

货币的时间价值（Time Value of Money, TVM）是金融学最基础的概念：今天的一元钱比明天的一元钱更有价值。原因有三：（1）今天的钱可以投资获得回报；（2）通货膨胀侵蚀购买力；（3）未来存在不确定性。

所有金融决策——储蓄、投资、借贷、估值——都建立在时间价值的基础之上。

终值与复利

单期与多期终值

将今天的金额 \(PV\) 投资 \(n\) 期，每期收益率 \(r\)，终值（Future Value, FV）为：

\[FV = PV \cdot (1 + r)^n\]

\((1+r)^n\) 称为复利因子（Compounding Factor）。

单利与复利

单利（Simple Interest）仅对本金计息：\(FV = PV(1 + nr)\)。复利（Compound Interest）对本金和累积利息都计息：\(FV = PV(1+r)^n\)。复利的"利滚利"效应使得长期投资的结果差异巨大。爱因斯坦据传称复利为"世界第八大奇迹"。

复利频率

当每年复利 \(m\) 次，名义年利率为 \(r_{nom}\) 时：

\[FV = PV \cdot \left(1 + \frac{r_{nom}}{m}\right)^{m \cdot n}\]

当 \(m \to \infty\) 时，得到连续复利（Continuous Compounding）：

\[FV = PV \cdot e^{r_{nom} \cdot n}\]

有效年利率（Effective Annual Rate, EAR）统一了不同复利频率的比较：

\[EAR = \left(1 + \frac{r_{nom}}{m}\right)^m - 1\]

72 法则

72 法则（Rule of 72）是一个实用的近似：投资翻倍所需年数约为 \(72/r\)（\(r\) 以百分比表示）。例如，年化收益率 8% 时，投资约 9 年翻倍。这一近似在 \(r\) 为 6%-12% 时相当准确。

现值与折现

折现的概念

现值（Present Value, PV）是终值的逆运算——将未来的现金流折算为今天的等价值：

\[PV = \frac{FV}{(1+r)^n}\]

\(\frac{1}{(1+r)^n}\) 称为折现因子（Discount Factor），\(r\) 称为折现率（Discount Rate）。

折现率反映了资金的机会成本（Opportunity Cost）——放弃的最佳替代投资的回报率。

净现值

净现值（Net Present Value, NPV）是评估投资项目的核心工具：

\[NPV = -C_0 + \sum_{t=1}^{n} \frac{CF_t}{(1+r)^t}\]

其中 \(C_0\) 为初始投资，\(CF_t\) 为第 \(t\) 期现金流。

NPV 决策规则：\(NPV > 0\) 则接受项目，\(NPV < 0\) 则拒绝。NPV 大于零意味着项目回报超过了资金的机会成本，创造了价值。

NPV 与其他决策标准

内部收益率（Internal Rate of Return, IRR）是使 NPV 等于零的折现率。IRR 直观但有缺陷：可能存在多个 IRR（现金流符号多次改变时）、隐含了以 IRR 再投资的假设、无法正确比较互斥项目。NPV 始终是最可靠的投资决策准则。

年金

普通年金

年金（Annuity）是在固定时间间隔内收到或支付的等额现金流。普通年金（Ordinary Annuity）的每期支付发生在期末。

\(n\) 期普通年金的现值：

\[PV = C \cdot \frac{1 - (1+r)^{-n}}{r} = C \cdot PVIFA(r, n)\]

\(n\) 期普通年金的终值：

\[FV = C \cdot \frac{(1+r)^n - 1}{r} = C \cdot FVIFA(r, n)\]

其中 \(C\) 为每期支付金额，\(PVIFA\) 和 \(FVIFA\) 分别为年金现值因子和终值因子。

先付年金

先付年金（Annuity Due）的支付发生在期初，其现值和终值只需在普通年金基础上乘以 \((1+r)\)：

\[PV_{due} = PV_{ordinary} \cdot (1+r)\]

增长年金

增长年金（Growing Annuity）的支付以固定比率 \(g\) 增长（\(g \neq r\)）：

\[PV = \frac{C_1}{r - g}\left[1 - \left(\frac{1+g}{1+r}\right)^n\right]\]

永续年金

普通永续年金

永续年金（Perpetuity）是永远支付的年金（\(n \to \infty\)），其现值公式极其简洁：

\[PV = \frac{C}{r}\]

这是金融学中最优雅的公式之一。英国的统一公债（Consols）就是一种永续年金。

增长永续年金

增长永续年金（Growing Perpetuity）的支付以固定比率 \(g < r\) 增长：

\[PV = \frac{C_1}{r - g}\]

戈登增长模型

增长永续年金公式直接引出了股票估值的戈登增长模型（Gordon Growth Model）：

\[P_0 = \frac{D_1}{r_e - g}\]

其中 \(D_1\) 为下一期预期股利，\(r_e\) 为股权成本（Required Return on Equity），\(g\) 为股利增长率。该公式虽然简单，但揭示了股价的三大驱动力：预期股利水平、折现率和增长率。

实际利率与名义利率

费雪方程

费雪方程（Fisher Equation）描述了名义利率、实际利率和通胀率的关系：

\[1 + i = (1 + r)(1 + \pi)\]

近似地：

\[i \approx r + \pi\]

其中 \(i\) 为名义利率（Nominal Interest Rate），\(r\) 为实际利率（Real Interest Rate），\(\pi\) 为通胀率。

实际值 vs. 名义值一致性

进行现值计算时，必须保持现金流和折现率的一致性：名义现金流用名义折现率折现，实际现金流（剔除通胀）用实际折现率折现。两种方法得到相同的现值。混淆名义值和实际值是实践中常见的错误。

应用示例

贷款摊还

等额本息贷款的每期还款额 \(C\) 由年金现值公式反解：

\[PV = C \cdot \frac{1-(1+r)^{-n}}{r} \quad \Rightarrow \quad C = PV \cdot \frac{r}{1-(1+r)^{-n}}\]

每期还款中，利息部分为 \(I_t = B_{t-1} \cdot r\)（\(B_{t-1}\) 为上期末余额），本金部分为 \(P_t = C - I_t\)。随着时间推移，利息占比下降、本金占比上升。

时间价值的概念和计算技术构成了金融学的算术基础。无论多复杂的金融问题，最终都可以回归到现金流的折现与复利。