市场均衡：供需分析

市场均衡的基本框架

市场均衡（Market Equilibrium）是供给与需求分析的核心概念。在完全竞争市场中，价格机制（Price Mechanism）协调无数独立决策者的行为，使市场自发趋向均衡状态。

设市场需求函数（Market Demand）$Q^d = D(P)$ 和市场供给函数（Market Supply）$Q^s = S(P)$，均衡条件为：

\[ D(P^*) = S(P^*) \quad \Longrightarrow \quad Q^* = D(P^*) = S(P^*) \]

其中 $(P^*, Q^*)$ 为均衡价格与均衡数量。

线性供需模型

设 $Q^d = a - bP$，$Q^s = c + dP$（其中 $a, b, c, d > 0$），则均衡解为：

\[P^* = \frac{a - c}{b + d}, \quad Q^* = \frac{ad + bc}{b + d}\]

均衡存在的条件是 $a > c$（在零价格处需求量超过供给量）。

弹性（Elasticity）衡量一个变量对另一个变量变化的敏感程度，是无量纲的度量指标。

需求的价格弹性（Price Elasticity of Demand）定义为：

\[ \varepsilon_d = \frac{\partial Q^d}{\partial P} \cdot \frac{P}{Q^d} \]

通常 $\varepsilon_d < 0$，按绝对值分类：

总收入（Total Revenue）$TR = PQ$ 与弹性的关系为：

\[ \frac{dTR}{dP} = Q\left(1 + \frac{1}{\varepsilon_d}\right) = Q\left(1 - \frac{1}{|\varepsilon_d|}\right) \]

其他重要弹性概念包括：

需求的收入弹性（Income Elasticity）：$\varepsilon_m = \frac{\partial Q}{\partial m} \cdot \frac{m}{Q}$，正常品 $\varepsilon_m > 0$，劣等品 $\varepsilon_m < 0$。
需求的交叉价格弹性（Cross-Price Elasticity）：$\varepsilon_{xy} = \frac{\partial Q_x}{\partial P_y} \cdot \frac{P_y}{Q_x}$，替代品 $\varepsilon_{xy} > 0$，互补品 $\varepsilon_{xy} < 0$。
供给的价格弹性（Price Elasticity of Supply）：$\varepsilon_s = \frac{\partial Q^s}{\partial P} \cdot \frac{P}{Q^s}$。

消费者剩余（Consumer Surplus, CS）衡量消费者的净福利收益，定义为支付意愿（Willingness to Pay）与实际支付之差的总和：

\[ CS = \int_0^{Q^*} P^d(Q)\, dQ - P^* Q^* \]

其中 $P^d(Q) = D^{-1}(Q)$ 为反需求函数（Inverse Demand Function）。

生产者剩余（Producer Surplus, PS）衡量生产者获得的超过其最低接受价格的收益：

\[ PS = P^* Q^* - \int_0^{Q^*} P^s(Q)\, dQ \]

其中 $P^s(Q) = S^{-1}(Q)$ 为反供给函数。

社会总剩余（Total Surplus）为：

\[ TS = CS + PS = \int_0^{Q^*} \left[P^d(Q) - P^s(Q)\right] dQ \]

福利经济学第一基本定理的直觉

在完全竞争均衡下，社会总剩余达到最大。任何偏离均衡的产量水平——无论过多还是过少——都会导致无谓损失（Deadweight Loss, DWL）。这为市场效率提供了有力的福利论证。

比较静态分析（Comparative Statics）研究外生变量变化时均衡如何调整。设均衡由隐函数方程 $D(P, \theta) = S(P, \theta)$ 决定，其中 $\theta$ 为外生参数。

由隐函数定理（Implicit Function Theorem）：

\[ \frac{dP^*}{d\theta} = -\frac{\partial D/\partial \theta - \partial S/\partial \theta}{\partial D/\partial P - \partial S/\partial P} \]

分母 $\partial D/\partial P - \partial S/\partial P < 0$（稳定性条件），因此均衡价格变动方向取决于分子的符号。

税收的比较静态

对每单位产品征收从量税（Per-Unit Tax）$t$，供给函数变为 $S(P - t)$。税收的价格效应为：

\[\frac{dP^*}{dt} = \frac{\varepsilon_s}{\varepsilon_s - \varepsilon_d} = \frac{\varepsilon_s}{\varepsilon_s + |\varepsilon_d|}\]

税负归宿（Tax Incidence）取决于供需弹性的相对大小：弹性较小的一方承担较大份额的税负。当需求完全无弹性（$\varepsilon_d = 0$）时，消费者承担全部税负；当供给完全无弹性（$\varepsilon_s = 0$）时，生产者承担全部税负。

价格管制（Price Controls）和税收都会产生效率损失：

价格上限（Price Ceiling）：当 $\bar{P} < P^*$ 时，产生超额需求（Excess Demand），导致短缺和配给问题。无谓损失为：

\[ DWL = \frac{1}{2}(P^d(Q_s) - \bar{P})(Q^* - Q_s) \]

从量税的无谓损失近似为：

\[ DWL \approx \frac{1}{2} t^2 \cdot \frac{|\varepsilon_d| \varepsilon_s}{|\varepsilon_d| + \varepsilon_s} \cdot \frac{Q^*}{P^*} \]

哈伯格三角

无谓损失与税率的平方成正比——这一结论被称为哈伯格三角（Harberger Triangle）。它意味着：（1）小幅税收的效率损失很小，（2）高税率的边际效率成本远高于低税率，（3）宽税基低税率优于窄税基高税率。