时间序列计量方法

时间序列数据的特殊性

时间序列数据（Time Series Data）按时间顺序排列，观测之间通常存在相关性（自相关），这使得横截面数据的许多假设不再适用。时间序列计量经济学发展了专门的工具来处理这些特殊性。

平稳性

严格平稳与弱平稳

平稳性（Stationarity）是时间序列分析的基础概念。

严格平稳（Strict Stationarity）：\((Y_t, Y_{t+1}, \ldots, Y_{t+k})\) 的联合分布不随 \(t\) 变化。

实践中更常用弱平稳（Weak / Covariance Stationarity），要求：

\(E(Y_t) = \mu\)，均值恒定
\(\text{Var}(Y_t) = \sigma^2 < \infty\)，方差有限且恒定
\(\text{Cov}(Y_t, Y_{t-j}) = \gamma_j\)，自协方差仅取决于滞后阶数 \(j\)

为什么平稳性重要？

非平稳时间序列的均值和方差随时间变化，使得统计推断失去意义——你无法用样本均值估计一个不断变化的总体均值。更严重的是，两个无关的非平稳序列之间可能出现伪回归（Spurious Regression）：\(R^2\) 很高但关系完全虚假。

单位根过程

最重要的非平稳过程是单位根过程（Unit Root Process）。考虑 AR(1) 模型：

\[Y_t = \rho Y_{t-1} + \epsilon_t, \quad \epsilon_t \sim WN(0, \sigma^2)\]

当 \(|\rho| < 1\) 时，过程平稳；当 \(\rho = 1\) 时，为随机游走（Random Walk）：

\[Y_t = Y_{t-1} + \epsilon_t \quad \Rightarrow \quad Y_t = Y_0 + \sum_{s=1}^{t} \epsilon_s\]

随机游走的方差 \(\text{Var}(Y_t) = t\sigma^2\) 随时间线性增长，冲击永久性地影响序列水平。

单位根检验

ADF 检验

增广迪基-富勒检验（Augmented Dickey-Fuller Test, ADF）是最常用的单位根检验。检验回归为：

\[\Delta Y_t = \alpha + \delta t + \gamma Y_{t-1} + \sum_{j=1}^{p} \phi_j \Delta Y_{t-j} + \epsilon_t\]

\(H_0: \gamma = 0\)（存在单位根，非平稳）
\(H_1: \gamma < 0\)（平稳）

检验统计量 \(t_\gamma = \hat{\gamma}/se(\hat{\gamma})\) 在零假设下不服从标准 \(t\) 分布，需要使用迪基-富勒分布（Dickey-Fuller Distribution）的临界值。

ADF 检验的实践要点

（1）滞后阶数 \(p\) 的选择很重要，可用 AIC 或 BIC 准则；（2）需要决定是否包含常数项 \(\alpha\) 和趋势项 \(\delta t\)；（3）ADF 检验功效较低——对于接近单位根但平稳的过程，检验倾向于不拒绝零假设。可以辅以 KPSS 检验（零假设为平稳）形成互补。

差分与单整

如果 \(Y_t\) 非平稳但 \(\Delta Y_t = Y_t - Y_{t-1}\) 平稳，则称 \(Y_t\) 为一阶单整（Integrated of Order 1），记为 \(Y_t \sim I(1)\)。一般地，需要 \(d\) 次差分才能达到平稳的序列记为 \(I(d)\)。

大多数宏观经济和金融时间序列（如 GDP、股价、汇率）为 \(I(1)\)，其对数差分（即增长率或收益率）为 \(I(0)\)。

协整

协整的概念

协整（Cointegration）由恩格尔和格兰杰（Engle & Granger, 1987）提出：若两个 \(I(1)\) 序列的某个线性组合是 \(I(0)\)，则它们存在协整关系。

\[Y_t \sim I(1), \quad X_t \sim I(1)\]

\[\text{但} \quad Y_t - \beta X_t = u_t \sim I(0)\]

协整的经济含义

协整意味着两个变量虽然各自游走，但被一个长期均衡关系"拴"在一起，偏离均衡后会被纠正回来。经典例子：消费与收入、即期汇率与远期汇率、不同期限的利率。协整是长期经济关系在统计上的体现。

误差修正模型

协整关系自然引出误差修正模型（Error Correction Model, ECM）：

\[\Delta Y_t = \alpha(\underbrace{Y_{t-1} - \beta X_{t-1}}_{\text{误差修正项}}) + \gamma \Delta X_t + \epsilon_t\]

参数 \(\alpha < 0\) 表示当 \(Y\) 偏离长期均衡时的回调速度。ECM 同时捕捉短期动态和长期均衡关系。

约翰森检验

约翰森检验（Johansen Test）适用于多变量系统中协整关系的检测。在 \(k\) 个 \(I(1)\) 变量的系统中，可能存在 \(0\) 到 \(k-1\) 个协整关系。约翰森方法基于 VAR 模型的特征根（Eigenvalue），通过迹统计量（Trace Statistic）和最大特征值统计量（Max-Eigenvalue Statistic）确定协整秩 \(r\)：

\[\lambda_{trace}(r) = -T \sum_{i=r+1}^{k} \ln(1-\hat{\lambda}_i)\]

向量自回归模型

VAR 模型

向量自回归模型（Vector Autoregression, VAR）由西姆斯（Sims, 1980）提出，是一种无需施加结构约束的多变量时间序列模型。

二元 VAR(1) 的形式：

\[\begin{pmatrix} Y_{1t} \\ Y_{2t} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} Y_{1,t-1} \\ Y_{2,t-1} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} e_{1t} \\ e_{2t} \end{pmatrix}\]

紧凑形式：\(\mathbf{Y}_t = \mathbf{c} + \mathbf{A}\mathbf{Y}_{t-1} + \mathbf{e}_t\)

VAR 的每个方程都可以用 OLS 逐一估计（在假设成立时等价于 SUR）。

格兰杰因果检验

格兰杰因果检验（Granger Causality Test）检验一个变量的滞后值是否有助于预测另一个变量。在上述 VAR 中，"\(Y_2\) 不格兰杰因果 \(Y_1\)" 的零假设是 \(a_{12} = 0\)（在更高阶 VAR 中是所有 \(Y_2\) 滞后项系数联合为零），用 F 检验实施。

格兰杰因果 ≠ 真实因果

格兰杰因果关系仅仅是预测性因果——\(X\) 的过去值是否包含预测 \(Y\) 的增量信息——而非结构性因果关系。两者的混淆是实证研究中常见的陷阱。

脉冲响应与方差分解

脉冲响应函数（Impulse Response Function, IRF）追踪系统对某个变量一个标准差冲击的动态响应路径。通过将 VAR 转化为移动平均（MA）表示：

\[\mathbf{Y}_t = \boldsymbol{\mu} + \sum_{s=0}^{\infty} \mathbf{\Phi}_s \mathbf{e}_{t-s}\]

其中 \(\mathbf{\Phi}_s\) 为第 \(s\) 期的脉冲响应矩阵。

方差分解（Forecast Error Variance Decomposition, FEVD）将每个变量预测误差的方差分解为来自各冲击的贡献比例。

结构性 VAR（SVAR）通过施加短期或长期约束来识别结构冲击，使脉冲响应具有经济学含义。

时间序列计量方法为分析宏观经济和金融数据提供了不可或缺的工具。平稳性检验、协整分析和 VAR 模型构成了该领域的核心框架。